基于傅里叶级数设计平面绘图机构

灵感来源

三蓝一棕做的一期关于傅里叶级数的视频里面，展示了如何使用匀速旋转的矢量相加获得任意二维图形的方法。于是我想，这东西能不能用机械的方法实现出来呢？所以这个题目就变成了我课程设计的题目。

https://www.bilibili.com/video/BV1vt411N7Ti?share_source=copy_web

傅里叶级数相关理论

假设任意二维图像可以使用复函数 $f\left( t \right)$ 表示，则它等于下述傅里叶级数

$\displaystyle f\left( t \right)=\sum\limits_{n=-N}^{N}{{{c}_{n}}{{e}^{2\pi int}}}$

其中复系数 $\displaystyle {{c}_{n}}=\int_{0}^{1}{{{e}^{-2\pi int}}f\left( t \right)dt}$

综上，具体做法如下：

使用复函数形式表示图形（读取svg图像、自己手写）
使用数值积分计算复系数
将所有项相加

参数计算的MATLAB实现

生成 $\displaystyle f\left( t \right)$

keypoint = zeros(7,2);

keypoint(1,:) = [300 0];
keypoint(2,:) = [-300 1/6];
keypoint(3,:) = [-300*cos(pi/3)-300*sin(pi/3)*1i 2/6];
keypoint(4,:) = [300*cos(pi/3)+300*sin(pi/3)*1i 3/6];
keypoint(5,:) = [-300*cos(pi/3)+300*sin(pi/3)*1i 4/6];
keypoint(6,:) = [300*cos(pi/3)-300*sin(pi/3)*1i 5/6];
keypoint(7,:) = [300 1];

f = @(t) interp1(keypoint(:,2), keypoint(:,1), t);

t = 0:.001:1;
s = f(t);
s_real = real(s);
s_imag = imag(s);
plot(s_real, s_imag);
axis equal

计算系数

c = complex(201, 1);
max_n = 100;
for n = -max_n:max_n
    ef = @(t) exp(-2*pi*1i*n*t) .* f(t);
    c(n+max_n+1) = integral(ef, 0, 1);
end

data = [];
m = 1;
for n = -max_n:max_n
    if abs(c(n+max_n+1)) > 20
        data(m, 1) = c(n+max_n+1);
        data(m, 2) = n;
        m = m + 1;
    end
end

绘图验证

figure;
t = 0:.001:1;
s = f_appr(t, data(:,1), data(:,2));
s_real = real(s);
s_imag = imag(s);
plot(s_real, s_imag);
axis equal

其中f_appr()函数如下

function [ s ] = f_appr( t, c, n )
%f_appr 傅里叶级数

s = 0;
for m = 1:length(n)
    s = s + c(m) .* exp(2*pi*1i*n(m)*t);
end

end

输出必要数据

output = [abs(data(:,1)) angle(data(:,1))*180/pi data(:,2)];

计算结果如下

矢量长度	初始角度	转速
44.4217565757029	30.0000044776831	-4
136.783594086297	-60.0000075560673	-1
177.687075394748	30.0000035072738	2

输出数据

机构设计

基础单元

机构由周转轮系单元组成，如下图

设左侧大齿轮的转速为n₁、连杆转速为n_H、右侧大齿轮转速为n₂，则可以算出传动比如下

$\displaystyle i_{12}^{H}=\frac{{{n}_{1}}-{{n}_{H}}}{{{n}_{2}}-{{n}_{H}}}=\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$

整体设计

机构整体原理图如下

已知

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} {{n}_{1}}=0 \\ {{n}_{3}}=2\omega \\ {{n}_{4}}=-\omega \\ {{n}_{5}}=-4\omega \\ \end{matrix} \right.$

可以算出

$\left\{\begin{matrix} \displaystyle i_{13}^{H}=\frac{{{n}_{1}}-{{n}_{4}}}{{{n}_{3}}-{{n}_{4}}}=\frac{1}{3} \\ \displaystyle i_{46}^{H}=\frac{{{n}_{4}}-{{n}_{3}}}{{{n}_{6}}-{{n}_{3}}}=\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.$

容易看出，在所有齿轮中，惰轮2、5相比起其他齿轮结构更简单，更便于更换，故这两个齿轮在不发生根切的前提下，应采用较小的齿数，以保证其他齿轮的寿命较长。

设齿轮1、2、3的模数为2，齿数分别为72、17、24，则齿轮1、2、3的螺旋角为

$\displaystyle {{\beta }_{123}}={{\cos }^{-1}}\left( \frac{\frac{{{m}_{123}}}{2}\left( {{z}_{1}}+{{z}_{3}} \right)+{{m}_{123}}{{z}_{2}}}{{{a}_{123}}} \right)=18.120156745567645$

设齿轮4、5、6的模数为2，齿数分别为90、17、45，则齿轮4、5、6的螺旋角为

$\displaystyle {{\beta }_{456}}={{\cos }^{-1}}\left( \frac{\frac{{{m}_{456}}}{2}\left( {{z}_{4}}+{{z}_{6}} \right)+{{m}_{456}}{{z}_{5}}}{{{a}_{456}}} \right)=17.990033046426266$

机构平衡

从原理图可以看出

机构静止时，机构自重会产生较大的倾覆力矩，这些力矩很大程度上由连杆的转轴承担
机构在运动时，由于每一级都会进行平面运动，并且每增加一级，角速度会成倍增加，故会产生严重的附加动载荷

解决这两个问题的方法为：增加配重块使机构的质量分布平衡

通过在每一级连杆相对于齿轮方向上添加配重块，使得该级轮系的重心位于该级输入轴的轴线上

如此一来，每级轮系的输入轴就只需要承担下述载荷

由机构自重产生沿轴向的正压力（主要）
驱动轮系加减速、克服机构运动阻力的扭矩（次要）

可见通过机构平衡设计，轴的受力状况明显改善，故可以采用较细的轴进行驱动

零件设计

图纸

三维模型

装配图

图纸

三维模型

运动仿真

运动仿真视频

总结

机构创新点

可绘制任意二维图形
图形精度可控
机构无冲击、无附加动载荷
零件复用程度高

目前尚存在的不足

机构平衡需要通过人工进行补偿
当选取级数增加时，机构尺寸成倍变小，造成设计困难
由于缺乏明确的应用场景，难以对机构各部件强度进行校核
目前配重块以串联形式叠加，当其数目较多时易发生弯曲变形

感想

通过三周的专业课程设计，我完整体验了从寻找创新思路、设计机构原理、设计各零件、整体装配到最后的运动仿真这一系列过程，将自己大学四年学到的机械工程知识综合运用到其中，我受益匪浅。

但是，在设计过程中，也碰到了不少的困难。首先是一开始选题的迷茫，机械设计体现在生活的方方面面，给我一种眼花缭乱的感觉，常常觉得自己想出来的设计思路早就有人实现过了。其次是在进行零件设计的时候，感觉机械设计课程上的知识很难应用到具体的设计中，主要体现在：课堂上学习的设计、校核方法仅适用于少数典型零件；并且各自为块，当机构整体零件数目增加时让人无从下手；减速箱的设计是这四年中唯一一次成体系进行设计的工程，很大程度上依赖于课程设计指导书的指引，难以泛化到一般的设计过程。

虽然困难重重，但是最终能够设计到目前的水平我觉得也已经很满足了。在进行原理设计的时候，将傅里叶级数应用到设计过程使我实实在在体验到创新的乐趣；另外，图纸、三维模型、运动仿真的制作也觉得得心应手，完成之后颇有成就感。在最后看见自己设计的机构按照预期工作之后，我就知道这三周的努力非常值得。

基于傅里叶级数设计平面绘图机构

灵感来源

傅里叶级数相关理论

参数计算的MATLAB实现

机构设计

基础单元

整体设计

机构平衡

零件设计

装配图

运动仿真

总结

1人评论了“基于傅里叶级数设计平面绘图机构”

发表评论取消回复

灵感来源

傅里叶级数相关理论

参数计算的MATLAB实现

机构设计

基础单元

整体设计

机构平衡

零件设计

装配图

运动仿真

总结

相关文章

1人评论了“基于傅里叶级数设计平面绘图机构”

发表评论 取消回复

发表评论取消回复