雅可比矩阵伪逆

雅可比矩阵将关节空间速度映射到直角坐标空间:ΔP = J(θ)Δθ。对于机器人运动学逆解来说可以考虑求雅克比矩阵J的逆,然后根据Δθ=J(θ)-1ΔP计算出关节角变动量并反复迭代。然当很多情况下J不可逆,因此可以考虑求其广义逆(Moore-Penrose逆)来求解方程。设ACm×nbCm,则线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是AA+b=b,且通解为x=A+b + (I-A+A)y (yCn任意),并且它的唯一极小范数解为xA+b(矩阵论简明教程 P150 A+在解线性方程组中的应用)。根据矩阵论(《矩阵论简明教程 第二版》 科学出版社 第6章 广义逆矩阵),设J为m×n阶实矩阵,当rankJ=m时,有J+ = JT(J JT)-1;而当rankJ=n时,有J+ = (JTJ )-1 JT,此时方程组J(θ)Δθ=ΔP的解唯一。 对一般机器人来说n≥m,且rankJ=m,即有J+ = JT(J JT)-1。当n>m,即机构驱动数目多于末端自由度时,会出现多解的情况,pseudo inverse方法会寻找解向量中长度最小的一个(无穷多个解中2范数最小的解,即||Δθ0||2=min||Δθ||2,称为极小范数解)

病态的线性方程组指的是:即使  能够被精确表示,计算过程中的舍入误差会使得方程组的解的估计值与真实解相差甚远。也就是说,假设真实解为 [公式] ,估计解为 [公式] 。即使 [公式] 足够小,[公式] 也可能较大。较小的后向误差并不能保证较小的前向误差

条件数: [公式]

容易发现:由向量范数定义的相对误差的上界被条件数控制。条件数越大,矩阵的病态程度越严重,舍入误差越有可能造成解的严重偏移。

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